Hoy vamos a definir lo que es el dominio y el rango de una función, para ello haremos uso de la solución de diferentes ejercicios resueltos, que te permitirán conectar tus pre saberes con los nuevos saberes de manera efectiva. Antes de iniciar es importante tener claro que las funciones que trataremos en este artículo serán de 2 variables, variable independiente (x) y variable dependiente (y o f(x)), por ende las representaremos de manera gráfica en el plano cartesiano.
Definición del Dominio de una función
Para una función f(x) definida por una variable x, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable independiente x, de tal manera que la expresión definida sea real.
Como ejemplo tenemos la siguiente gráfica de una función, es evidente que el dominio es la parte que hemos resaltado y esta va desde cero hasta infinito. Dicho de otra forma el Dom : [0,∞), el cero lo debemos tomar porque la función está definida en dicho punto, para ello usamos el intervalo cerrado, en caso que no estuviera definida en cero este quedaría con intervalo abierto.
Definición del Rango de una función
El rango o recorrido de f(x) es el conjunto de todos los valores que la variable dependiente puede tomar, una vez que ingresamos cada uno de los valores del dominio establecidos por la variable independiente x.
Para comprender un poco más lo que es el rango o recorrido de una función, hemos tomado como referencia la gráfica anterior. En este caso el rango es la parte que hemos resaltado y se define como Rango:[0,∞). Igualmente como en el caso anterior hemos tomado el cero en los valores que puede tomar f(x) y para ello usamos el intervalo cerrado.
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Ejercicios resueltos de hallar Dominio y Rango de una función
Ejercicio 1. Hallar el dominio de la siguiente función racional :
Solución:
Para hallar el dominio de la función debemos evaluar que valores puede tomar x, en este caso buscaremos el valor cuando nuestro denominador se hace cero. Esto se debe a que tenemos una función racional y el denominador no puede ser igual a 0. Ahora bien procedamos a calcular la indeterminación o el valor que no puede tomar x:
x-1=0 → x=1
En este caso el dominio de la función será Dom: (- ∞, 1) U (1, + ∞). En x=1 tenemos una indeterminación, por ello debe usarse el intervalo abierto. La gráfica de nuestra función quedaría de la siguiente manera con una asíntota vertical en el valor que x no puede tomar :
Ejercicio 2. Encuentra el dominio de la función f(x) definido por:
Solución:
El dominio de la función f(x) es el conjunto de todos los valores de x, en este caso estamos condicionados por el denominador que no puede tomar un valor igual a cero. Por tanto, procedemos hallar cuando nuestro denominador se hace cero:
x+3=0 → x=-3
Finalmente deducimos que el dominio de nuestra función será Dom: (-∞, – 3) U (- 3, + ∞). Gráficamente deducimos que tenemos una asíntota vertical en x=-3, por tanto nuestra gráfica nos quedaría :
Ejercicio 3. Determinar el dominio de la siguiente función con radical.
Solución:
En el caso de que tengamos una función con radicales y necesitemos hallar el dominio de dicha función, debemos resolver la siguiente inecuación para lograr hallar nuestro dominio.
Finalmente concluimos que el dominio es Dom: [4,∞). Gráficamente comprobando el resultado tenemos:
Ejercicio 3. Hallar el rango de la función definida por:
Solución:
Para lograr hallar el rango de manera efectiva y precisa, sencillamente debemos hallar la función inversa de f(x). Dicho esto procedamos a hallar nuestra función inversa, el cual para facilitar el cálculo reemplazamos f(x) por y, y luego despejaremos x.
Finalmente tenemos una nueva función en la que podemos determinar los valores que puede tomar y, o dicho de otra manera los valores para nuestro rango. Si observamos nuestra función es racional, por ende en el denominador determinamos los valores en los que este se hace cero.
y-2=0 → y =2
Entonces tenemos que en y=2 nuestra función presenta una indeterminación o no existe en dicho valor, lo cual nos permite concluir que el rango de nuestra función es Ran: ℜ – {1}, ósea todos los reales diferentes de 1.
Videotutorial dominio y rango de una función de manera gráfica
A continuación haremos uso de material audiovisual para reconocer de manera efectiva lo que es un dominio y rango de una función. En convenio con el canal Mastertareas Company, presentamos el siguiente video. No olvides suscribirte en su canal.
