Números complejos: Propiedades y Operaciones básicas

Las cantidades aritméticas ya sean racionales o irracionales, positivas  o negativas, enteras o fraccionarias reciben el nombre de números reales para distinguirlas de las cantidades imaginarias.

Por definición aritmética el cuadrado de un número siempre es positivo. Si analizamos la ecuación 1+x²=0 vemos que x=±√(-1), pero el cuadrado de √(-1) es igual a -1, que no puede ser un número real según la defunción. Se hace por tanto necesario el introducir un sistema de números imaginarios, en contraposición al sistema de números reales, para explicar de cantidades de la forma  √(-1).

Este nuevo símbolo √(-1) suele representarse con una i y se le ha dado el nombre de unidad de los números imaginarios.

Ideas previas de Números Imaginarios

1) Si un número es de la forma √(-b), en que b es un número real positivo es conveniente escribirlo en la forma propia de los números imaginarios, esto es (√b)i. Un ejemplo de la anterior definición es:

numero imaginario raices

2) Se dice que dos números son imaginarios conjugados cuando estos solo difieren en signo, así 3i y -3i son números imaginarios conjugados.

3) Para calcular cualquier potencia de i es necesario recordar la definición de unidad imaginaria, veamos:

numeros complejos formulas

Números Complejos: La mezcla de reales e imaginarios

La solución general de la ecuación cuadrática ax²+bx+c es m±n√p, en que tanto m, n  y como p pueden ser enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Pero mientras m y n son números reales en cualquier caso √p será un número imaginario si p es una cantidad negativa.

Por tanto es necesario tener números de la forma a+bi, en que m y n son cantidades reales, mientras que i es una cantidad imaginaria. A esta combinación de números reales con imaginarios se da el nombre de números complejos.

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Los números reales e imaginarios no son más que casos particulares de un numero complejo. Si a+bi, con b=0 entonces la expresión es real, mientras que si a=0, la expresión representa un número imaginario.

Representación gráfica de Números Complejos

Para la representación de números complejos podemos valernos del plano complejo que es similar al sistema de coordenadas rectangulares, y a su vez se puede hacer uso de las coordenadas polares.

Representación en el Plano Complejo: Coordenadas Rectangulares

El plano complejo es similar al plano rectangular, solo que en este caso él (eje y) será nuestra parte imaginaria, y él (eje x) será la parte real del número complejo. Partiendo de que la forma rectangular de un número complejo es  z=a+bi, su representación en el plano complejo es la siguiente:

representación grafica plano complejo

Tal como se evidencia en el plano complejo, para ubicar nuestro número complejo simplemente ubicamos un punto de coordenadas (a, b), que se compone de la parte real en el eje horizontal y luego  la parte imaginaria en el eje vertical. Seguidamente desde el origen trazamos una flecha a dicho punto, para que finalmente tengamos representado el complejo.

Representación en el Plano Complejo: Coordenadas Polares

Es importante precisar la relación que se establece entre las coordenadas rectangulares de un número complejo y las coordenadas polares. Para ello tenemos el siguiente análisis que nos permite identificar la relación directa para poder representar un complejo en coordenadas polares:

relacion polares rectangulares complejos

Ejemplo. Representar el siguiente número complejo con coordenadas polares  r=12 y  θ=60° en el plano complejo. Para ello es importante hacer uso de a=rcosθ y b=rsenθ, para lograr pasar de forma polar a rectangular.

polar coordenadas numeros complejos

Propiedades de los Números Complejos

Las propiedades de los números tratados en este artículo son las siguientes:

  • Si el número complejo a+bi=0, se tiene que a =0 y b=0.
  • Si se tiene dos números complejos, a+bi y c+di, tales que a+bi=c+di, entonces a=c y b=d.
  • Si el producto de dos números complejos es igual a cero, al menos uno de los factores es igual a cero. Veamos, (a+bi)(c+di)=0 si (a+bi)=0 ó (c+di)=0.
  • Si un número complejo es diferente de cero, el producto de dicho número y su conjugado es real y positivo Por tanto (a+bi)(a-bi)=a²+b², donde a²+b²>0.

Operaciones con los Números Complejos

A continuación vamos a establecer las diferentes operaciones básicas con números complejos, para ello es importante tener en cuenta las propiedades y las ideas previas que se establecen en los números imaginarios.

Sean z1=(a+bi) y z2=(c+di) la suma, multiplicación, división y multiplicación de números complejos se establece como:

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De esta forma hemos terminado con nuestro repaso de números complejos, en donde se ha logrado resaltar los conceptos esenciales para dicho tema. No olvides compartir si te sirvió nuestro contenido, recuerda compartir es agradecer. ¡Hasta pronto!

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