Los 10 casos de Factorización con ejercicios resueltos

Hoy se abordaran los 10 casos de factorización porque es un tema de interés general y en muchos casos se observa cómo los estudiantes no logran identificar cada uno de ellos de manera efectiva en las actividades y esto lo hace un tema complejo.

En este artículo, se explicará cada caso de factorización con el fin de desarrollar los criterios suficientes, para buscar la solución e identificar cada situación en las actividades institucionales. Una vez que determines la situación de factorización en la que te encuentras, las soluciones se volverán más interesantes y todo fluirá de manera sistemática.

Resumen 10 casos de Factorizacion y 1 caso especial

Factor Común - Caso 1

El factor común de un se aplica cuando, en un polinomio, encontramos un término recurrente, que puede ser un número o una letra.

Si hay un factor común en un polinomio, entonces este polinomio será igual al factor común multiplicado por el polinomio por el cual cada elemento fue dividido por este elemento repetitivo.

Aplicar el factor común significa tomar tanto letras (literales) como números (coeficientes) comunes, en el caso de las letras se toma la letra con el menor exponente. Y para los números, simplemente será MCD (máximo común divisor), es decir, el mayor número que los puede dividir a todos.

Ejemplo de factor común:

Caso 1 de Factorizacion

Agrupación por términos semejantes - Caso 2

El objetivo de este caso es encontrar el factor común en los términos que vamos a asociar, luego aplicar el factor común nuevamente y finalmente expresar el polinomio en factores.

Para lo anterior, será importante agrupar términos con coeficientes comunes en paréntesis desde el principio.

Ejemplo de agrupación de términos semejantes:

Caso 2 Factorizacion

Trinomio Cuadrado perfecto - Caso 3

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de multiplicar el binomio por sí mismo o por su cuadrado. Por ejemplo, (x + 2)2 = (x + 2) (x + 2) = x2 + 4x + 4.

Para trabajar un trinomio cuadrado perfecto, siempre se deben utilizar las siguientes fórmulas, según corresponda:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a+b) = (a+b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a+b) = (a-b)2

Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto:

Caso 3 Factorizacion

Diferencia de Cuadrados perfectos - Caso 4

En este caso, hay una diferencia entre los dos términos, donde cada término tiene una raíz cuadrada específica. Para resolver cualquier ejercicio de este tipo, nos basamos en la siguiente fórmula:

a2 – b2 = (a+b) (a-b)

Ejemplo de diferencia de cuadrados perfectos:

Caso 4 Factorizacion

Trinomio adición y sustracción - Caso 5

Algunos trinomios cuyo primer y tercer término son cuadrados perfectos (es decir, tienen raíces cuadradas exactas), pueden ser transformado como trinomio  cuadrados perfectos.

En este caso se utiliza la técnica de completar cuadrados, en la que sumamos y restamos el doble del producto del primer y segundo término. Luego de ello, procedemos a efectuar una diferencia de cuadrados y listo.

Ejemplo de trinomio por adición y sustracción:

Caso 5 Factorizacion

Factorización  Trinomio de la forma x²+bx+c - Caso 6

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

  • El coeficiente del primer término es 1.
  • La variable del segundo término es la misma que la del primero, excepto que su exponente es la mitad.
  • El tercer término es independiente del literal de los términos primero y segundo.

A continuación, veremos cómo se trata este caso de la forma más práctica posible.

Ejemplo de factorización de la forma x²+bx+c:

caso 6 Factorizacion

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Factorización Trinomio de la forma ax²+bx+c - Caso 7

Este caso es ligeramente diferente al anterior porque la primera posición precede a un número distinto de 1 y debe ser positiva.

Trabajaremos con este trinomio de la siguiente manera:

- Multiplicamos el coeficiente a del término (ax2) por cada término y dejamos expresada la multiplicación del término bx o término medio por a.

- Descomponemos el trinomio en dos binomios, donde el primer término será la raíz del primer término una vez multiplicado por a.

- Dividimos todo por a, para no cambiar el trinomio.

- Colocamos los signos de los binomios, de manera que el primer binomio tendrá el signo del término bx y el segundo binomio su signo lo establecerá la multiplicación de los signos de términos bx y c.

- Se buscan los términos restantes como en el caso anterior y simplificamos el número del denominador con cualquier binomio.

Ejemplo de trinomio de la forma ax²+bx+c:

caso 7 factorizacion

Cubo perfecto de binomio - Caso 8

Para este caso nos basaremos en las siguientes fórmulas generales:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Antes de ejecutar y aplicar las fórmulas anteriores, es importante que logremos reconocer un cubo perfecto:

  • Los términos primero y cuarto tienen una raíz cúbica.
  • Incluye sólo cuatro términos.
  • Todos sus signos son positivos o alternos (+, -, +, -).
  • Están ordenados a partir de una letra y su exponente decrece a medida que avanzas hacia la derecha.

Ejemplo de cubo perfecto de binomio:

caso 8 factorizacion

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Suma o diferencia de cubos perfectos - Caso 9

En este caso, utilizaremos las siguientes fórmulas generales que se diferencian por su signo:

a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

Cuando tenemos la suma o la diferencia de cubos, calcular la raíz cúbica de cada término y luego aplicar la fórmula general anterior, sigue siendo la mejor opción para operar este caso.

Ejemplo de suma o diferencia de cubos perfectos:

caso 9 Factorizacion

Suma o diferencia de dos potencias iguales - Caso 10

A menudo encontramos sumas o restas de términos a la quinta potencia, la séptima potencia u otras raíces impares. Es aquí cuando este caso se hace efectivo y la forma de operar es la siguiente:

  •  Inicia abriendo un par de corchetes.
  • En el primer paréntesis, saca la raíz de ambos términos y que tome el signo inicial de los mismo.
  • En el segundo paréntesis, pon el polinomio de tal forma que el primer término decrece y el segundo término crece en cuanto a sus exponentes.
  •  Si es una suma, entonces el polinomio tiene signos intercalados en el segundo paréntesis (-, +, -, ...)  y si es una resta, entonces el polinomio tiene signos positivos en su totalidad en el segundo paréntesis.

Ejemplo de suma o diferencia de potencias iguales:

caso 10 factorizacion

Suma de cuadrados - Caso especial

Una condición de la que rara vez hablamos y qué ocurre cuando encontramos dos términos sumados y que son cuadrados.

En este caso si tenemos una suma de cuadrados :

(a2 + b2)

Esta se podrá factorizar de la siguiente manera:

(a2 + b2) = (a + c + b) · (a - c + b)

Por tanto, este caso general nos servirá para todos los casos de suma de cuadrados, el cual solo nos restara calcular a y b dentro de nuestros ejercicios.

La anterior apreciación siempre será válida cuando la expresión c=√(2ab), nos de como resultado una raíz exacta.

Ejemplo de suma de cuadrados :

caso especial suma de cuadrados

Al final cubrimos los 10 casos de factorización de la manera más sencilla posible y también el caso especial, esperamos que este excelente resumen te sea de utilidad.

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Índice
  1. Factor Común - Caso 1
  2. Agrupación por términos semejantes - Caso 2
  3. Trinomio Cuadrado perfecto - Caso 3
  4. Diferencia de Cuadrados perfectos - Caso 4
  5. Trinomio adición y sustracción - Caso 5
  6. Factorización  Trinomio de la forma x²+bx+c - Caso 6
  7. Factorización Trinomio de la forma ax²+bx+c - Caso 7
  8. Cubo perfecto de binomio - Caso 8
  9. Suma o diferencia de cubos perfectos - Caso 9
  10. Suma o diferencia de dos potencias iguales - Caso 10
  11. Suma de cuadrados - Caso especial

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