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Dominio y Rango de una Función con 7 ejercicios resueltos

Hoy  vamos a definir lo que es el dominio y  el rango de una función, para ello haremos uso de la solución de  diferentes ejercicios resueltos, que te permitirán conectar tus pre saberes con  los nuevos saberes  de manera efectiva.  Antes de iniciar  es importante tener claro que las funciones que trataremos en este artículo serán de 2   variables, variable independiente (x) y variable dependiente (y o f(x)), por ende las   representaremos  de manera gráfica en el plano cartesiano.

Definición del Dominio de una función

Para una función f(x)  definida por una  variable x, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los valores reales que  puede tomar la variable independiente x,  de tal manera que la expresión definida sea  real.

Como ejemplo tenemos la siguiente gráfica de una función, es evidente que el dominio es la parte que hemos resaltado y esta va desde cero hasta infinito.  Dicho de otra forma el Dom : [0,∞),  el cero lo debemos tomar  porque la función está definida en dicho punto, para ello  usamos  el intervalo cerrado, en caso que no estuviera definida en cero  este quedaría con intervalo abierto.

rango dominio de una funcion con raiz

Definición del Rango de una función

El rango o recorrido  de f(x)   es el conjunto de todos los valores que la variable dependiente  puede  tomar,  una vez que ingresamos cada uno de los valores del dominio  establecidos por la variable independiente x.

Para comprender un poco más lo que es el rango o recorrido de una función, hemos tomado como referencia la gráfica anterior. En este caso el rango es la parte que hemos resaltado y se define como Rango:[0,∞). Igualmente como en el caso anterior  hemos tomado el cero en los valores que puede tomar f(x) y para ello usamos el intervalo cerrado.

rango de una funcion grafica

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Ejercicios resueltos de hallar   Dominio y Rango de una función

Ejercicio 1. Hallar  el dominio de la siguiente función racional :

hallar dominio funion racional

Solución:

Para hallar  el dominio de la  función debemos evaluar que valores puede tomar x, en este caso buscaremos el valor cuando nuestro denominador  se hace cero.  Esto se debe a que tenemos una función racional y el denominador  no puede ser  igual a 0. Ahora bien procedamos a calcular la indeterminación o el valor que no puede tomar x:

x-1=0 → x=1

En este caso el dominio de la función será  Dom: (- ∞, 1) U (1, + ∞). En x=1 tenemos una indeterminación,  por ello debe  usarse el intervalo abierto. La gráfica de nuestra función quedaría de la siguiente manera con una asíntota vertical en el valor que x no puede tomar :

grafica-funcion-racional-dominio

Ejercicio 2. Encuentra el dominio de la función f(x) definido por:

dominio-funcion-racional

Solución:

El dominio de la función f(x)  es el conjunto de todos los valores de x, en este caso estamos  condicionados por el denominador que  no puede tomar un valor igual a cero. Por tanto, procedemos hallar cuando nuestro denominador se hace cero: 

x+3=0 → x=-3

Finalmente deducimos que el dominio de nuestra función será Dom: (-∞, – 3) U (- 3, + ∞). Gráficamente deducimos que tenemos una asíntota vertical en x=-3,  por tanto nuestra gráfica nos quedaría :

dominio-funcion-racional

Ejercicio 3.  Determinar el dominio de la siguiente función con radical.

funcion con radicales

Solución: 

En el caso de que tengamos una función con  radicales y necesitemos hallar el dominio de dicha función, debemos resolver la siguiente inecuación  para lograr hallar nuestro dominio.

hallar dominio con radicales

Finalmente concluimos que el dominio es Dom: [4,∞). Gráficamente comprobando el resultado tenemos:

funcion con radical dominio

Ejercicio 3. Hallar el rango de la  función definida  por:

rango de una funcion

Solución: 

Para lograr hallar el rango de manera efectiva y precisa, sencillamente debemos hallar la función inversa de f(x). Dicho esto procedamos a hallar  nuestra función inversa, el cual para facilitar el cálculo reemplazamos  f(x) por y, y luego despejaremos x.

hallar funcion inversa Finalmente tenemos una nueva función en la que podemos determinar los valores que puede tomar y, o dicho de otra manera los valores  para  nuestro rango.  Si observamos nuestra función es racional, por ende en el denominador determinamos los valores  en los que este se hace cero.

y-2=0 → y =2

Entonces tenemos que en y=2 nuestra función presenta una indeterminación o no existe en dicho valor, lo cual nos permite concluir que el rango de nuestra función es  Ran: ℜ – {1}, ósea todos los reales diferentes de 1.

Videotutorial  dominio y rango de  una función de manera gráfica

A continuación haremos uso de material audiovisual para reconocer de manera efectiva lo que es un dominio y rango de una función. En convenio con el canal Mastertareas Company, presentamos el siguiente video.  No olvides suscribirte en su canal.

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