Resumen de las Derivadas Parciales y Ejemplos

Hoy hablaremos acerca de las derivadas parciales, el cual es un tema de gran importancia no solo en el cálculo Multivariable sino también en un sinfín de áreas del conocimiento. La continuación  entonces de las derivadas de una sola variable son las derivadas parciales, las cuales son el primer escalón del cálculo avanzado.

Gracias a este artículo adquirirás una serie de competencias en relación con la notación de las derivadas parciales, el desarrollo de ejercicios con dos o más variables y la metodología precisa que te ayudara a afrontar una situación problema de este tema sin mayores obstáculos.

Notaciones más usadas dentro de las derivadas parciales

Derivadas Parciales resumen

Las derivadas parciales por lo general hacen uso de dos tipos de notaciones al momento establecer un conocimiento procedimental y conceptual. Estas dos notaciones son: la notación de Jacobi y la notación de subíndices.

derivadas parciales notacion

Si observamos en los diferentes libros de apoyo, la notación de Jacobi es la que más se usa pero la notación de subíndices es un poco más sencilla. En los ejemplos que veremos más adelante utilizaremos la notación de Jacobi al ser mas usada.

Ahora bien, observemos los siguientes ejemplos de notación para profundizar un poco más acerca de este tema:

ejemplo notacion derivadas parciales

Notación de Jacobi

Notemos que el exponente que acompaña a ∂ en la parte superior indica si es primera, segunda, tercera derivada y así sucesivamente. Luego en la parte inferior se indica el orden de la derivación, por ejemplo en el último ejemplo de la imagen anterior se indica que se deriva respecto a x, z y por último respecto a y.

Notación de Subíndices

Para este caso no tenemos exponentes, solo la cantidad de subíndices es la que indica si se evalúa la primera, segunda o cualquier orden de la derivada parcial.

Los subíndices nos van indicando de acuerdo a su posición de izquierda a derecha, que variable se debe derivar. Algo muy similar a la notación Jacobi en la parte inferior.

Esta notación se llama de subíndices porque se hace uso de subíndices para indicar las derivadas parciales y respecto a que variables se procederá a derivar.

Propiedades de las derivadas parciales

Al tener una función de dos o más variables y efectuar su derivada parcial, se procede a tomar una variable como derivable y las demás como constantes. Por tanto, se pueden aplicar las reglas de derivación usadas en las derivadas ordinarias.

Las principales propiedades de las derivadas parciales son:

Regla de la Cadena

Para esta regla estudiaremos dos casos: cuando existe una variable independiente y cuando hay dos respectivamente.

Caso de una variable independiente

Si w = f(x, y) es diferenciable y x = g(t) e y = h(t) son derivables entonces:

regla cadena derivadas parciales una variable

Caso de dos variables independientes

Si w = f(x, y), x = g(s, t) e y = h(s, t) son diferenciables entonces:

regla de la cadena derivadas parciales dos variables

Continuidad

Una función de tipo f(x, y)  o f(x, y,z) es continua en un punto, si cumple que sus derivadas parciales en los puntos (xo,yo) y (xo,yo,zo) existen. Ya que recordemos que una función es continua si esta es derivable.

Propiedad de cierre o cerradura

La derivada parcial de f(x, y, …) respecto a una de sus variables, es otra función g expresada en términos de (x, y, …), por ejemplo:

g(x, y, …) = fx (x, y, …)

Es decir, la derivación parcial es una operación que va de Rn a Rn. Por tanto hablamos que existe una operación cerrada.

Teorema de Schwarz o de Clairaut

Sea f(x,y) una función cuyas derivadas parciales sean continuas en un subconjunto A ⊂ R2 ,se establece tanto en notacion de Jacobi o subíndices que:
Teorema de Schwarz derivadas parciales

 

 

¿ Como se calcula una derivada parcial ?

Para calcular la derivada parcial de una función se hace de manera similar cuando calculamos las derivadas ordinarias. La unica diferencia es que dentro de las derivadas parciales se han de tomar como constantes las variables respecto a las cuales no se va a derivar.

Por ejemplo si deseamos calcular las derivadas parciales respecto a x e y de la función  f(x,y)=(x3y5), esto se expresaría como:

ejemplo derivadas parciales

Para profundizar el calculo de las derivadas parciales de manera efectiva y lograr entender lo que son las notaciones mas usadas, los invitamos a ver el siguiente video desarrollado por un licenciado de matematicas en su canal; de paso los invitamos a que si desean se suscriban a su canal educativo.

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