El ser humano se enfrenta constantemente a situaciones problema en donde siempre intenta buscar la mayor utilidad posible en sus tareas, por ejemplo un agricultor siempre busca invertir la menor cantidad de insumos para lograr tener un mayor beneficio. Este ejemplo lo traemos a colación,  ya que es común que los estudiantes en clases de  aplicación de la derivada referentes a  máximos y mínimos   preguntan al docente, ¿ esto para que sirve en nuestras vidas?, y sencillamente este tema que abordaremos hoy, nos ayudará a encontrar la mejor manera de realizar una tarea específica.

En este articulo mostraremos cómo se puede usar la diferenciación para encontrar los valores máximos y mínimos de una función. Para ello es importante tener claro los conceptos de lo que es la  primera y segunda derivada de una función, junto a la representación de funciones  en el plano cartesiano.

Regla de la Primera Derivada y su definición

Gracias a la primera derivada podemos concluir si en nuestra función existe un punto crítico, este tipo de puntos son aquellos que pueden llegar a ser extremos absolutos o relativos.

Recordemos que un extremo absoluto puede ser el valor más pequeño  de nuestra función (mínimo absoluto)  o más grande (máximo absoluto),  por otra parte tenemos los máximos relativos que son valores grandes respecto a sus valores más cercanos tanto por la izquierda y la derecha, y por último los mínimos relativos son valores pequeños respectos a sus valores más cercanos tanto por la izquierda y la derecha.

Ahora bien,  pasemos a lo que es la definición de la primera derivada para la existencia de los puntos críticos.

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Regla de la Segunda Derivada para determinar máximos y mínimos

Una vez que se establece el criterio de la primera derivada,  es importante hacer uso del criterio de la segunda derivada que nos permite determinar a ciencia cierta cuando existe un mínimo o máximo.  Por tanto,  la definición del criterio de la segunda derivada nos expresa :

Ejercicio sobre  Máximos y Mínimos con función

Hallar los máximos y mínimos locales, haciendo uso del principio de la segunda derivada de la siguiente  función :

f(x)=x³ − 3x + 2.

Solución: 

Iniciamos calculando la primera derivada e igualamos a cero, ya que este proceso  nos asegura la existencia de  puntos críticos en nuestra función.

Por tanto tenemos que nuestros puntos críticos son x=1 y x=-1. Ahora procederemos a calcular la segunda derivada, para luego poder llegar aplicar la regla y así determinar que puntos son máximos y mínimos locales.

Una vez que logramos determinar el comportamiento de los puntos críticos hallados   bajo el criterio de la segunda derivada, hemos  llegado a  definir que puntos son máximos y mínimos locales. En conclusión tenemos que el punto x=1 es un mínimo local y el punto x=-1 es un máximo local. Una vez que realizamos la gráfica podemos comprobar nuestra respuesta, y es evidente que solo vamos a tener puntos críticos locales:

Problemas de Aplicación de la Derivada con  Máximos y Mínimos en la vida real

Un fábrica de cajas tiene a disposición una lámina de cartón de  dimensiones 120 cm x 75 cm. Dicha empresa desea construir una caja que no tendrá tapa, y esta debe contar con el mayor volumen posible mediante el corte de cuadrados semejantes en cada una de las esquinas de la lámina,  que permitirán doblar las caras laterales sin dificultad.  ¿ Qué  dimensiones tendrá la caja para un volumen máximo ? ¿cuál será dicho  volumen ?

Solución: 

Inicialmente vamos a plantear nuestro gráfico de la situación problema inicial, partiendo de que tenemos una lamina de 120cm x 75 cm.

Observando nuestra lamina deducimos que la altura de nuestra caja será x, lado será (120-2x) y el ancho (75-2x). Dicho esto, nuestro volumen de la caja se expresaría como:

Aquí es importante precisar que x no podrá estar por encima de los 37.5cm, en la medida que nuestro volumen daría cero o negativo. Por tanto,  0<x<37.5, lo que quiere decir que x toma valores entre 0 y menores que 37.5. Ahora bien como sabemos que el ejercicio es de maximización, procederemos a aplicar la regla de la primera derivada que nos garantiza la existencia de puntos críticos:

Hasta ahora podemos concluir que x1=50 cm debe ser descartado de la solución, en la medida que x no puede tomar valores por encima de 37.5cm. Ahora bien procedemos a aplicar la regla de la segunda derivada para hallar los valores máximos y mínimos.

De esta manera sabemos que en x=15 cm tenemos un máximo y en x=50 cm un mínimo. Por tanto, en x=15 cm encontramos el máximo que estábamos buscando.  Así, las dimensiones de la caja para el máximos volumen serán:

y su volumen máximo :