A medida que vamos conociendo el maravilloso mundo del cálculo integral, nos encontramos con el método de integración por partes que nos ayuda en gran medida a resolver las integrales de una manera rápida y efectiva. A continuación aprenderás principalmente a como aplicar este método y en qué momento. ¡Vamos por ello genios!
¿Qué es un método de Integración dentro del cálculo integral?
Hablamos de método en la medida que desarrollamos un conjunto de pasos concretos, para calcular la integral indefinida o definida para cierta función.
Dicho de otra manera, los métodos de integración son técnicas que facilitan el trabajo para calcular la antiderivada F(x).
Dentro de estos métodos tenemos dos centrales que son: El Método por Sustitución y Método de integración por partes. En esta ocasión hablaremos del segundo.
Definición de la Integración por partes
Como todos sabemos el método de la integración por partes surge a partir de la derivada de un producto, es por ello que este método se usa especialmente cuando dos funciones están multiplicadas entre sí. Por definición la integración por partes obedece a la fórmula:
Es importante resaltar que escogeremos como dv a aquella función que sea más fácil de integrar, mientras que u será la función que no tenga integral directa como por ejemplo las funciones logarítmicas e inversas.
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¿Cuándo aplicar el método de integración por partes?
Este método es válido cuando encontramos en nuestro ejercicio una función o dos del tipo LIATE. Ustedes se preguntarán ¿Qué son las funciones LIATE? Sencillamente es el orden en el que se debe escoger las funciones para asignarlas a u, en donde cada letra representaría:
L ⇒ Logarítmicas.
I ⇒ Inversas trigonométricas.
A ⇒ Algebraicas.
T ⇒ Trigonométricas.
E ⇒ Exponenciales.
Recuerda que la prioridad se establece como L>I>A>T>E. Es decir las logarítmicas son de mayor prioridad que las demás, luego seguirían en caso de no existir las logarítmicas, pues daríamos prioridad a las inversas trigonométricas y así sucesivamente.
Lista de Integrales Directas y Básicas
Antes de entrar en detalle respecto a la resolución de las situaciones problema, vamos a tomar apuntes respecto a las integrales simples que necesitaremos para la aplicación efectiva del método de integración por partes. Estas integrales son aquellas que admiten una primitiva simple como solución.
Ejercicios Resueltos de Integración por partes
A continuación aplicaremos el método de integración por partes, con su análisis respectivo al momento de escoger el método y la manera de como escogemos tanto a dv y u en el mismo. Para ello haremos uso de la teoría que se ha abordado hasta el momento, como también cada una de las integrales simples que se encuentran en la tabla anterior. No siendo más genios, vamos por ello.
Ejercicio 1
Inicialmente observamos si la integral contiene funciones dentro de las ALPES y efectivamente observamos que está presente una función logarítmica y una función con exponente potencia numérica. Por ende el método de integración por partes se puede aplicar en este ejercicio.
Seguidamente procedemos a escoger dv y u. El cual el logaritmo será nuestro u en la medida que de las dos funciones es el más difícil de integrar.
Por tanto al aplicar la integración por partes nos queda:
Luego nos queda una integral directa, muy fácil de resolver:
Así, finalmente llegamos a nuestra respuesta, haciendo uso del poderoso método de integración por partes:
Ejercicio 2
En este caso escogeremos du y u como:
Aplicando la fórmula de integración por partes:
Seguidamente aplicamos de nuevo la integración por partes, en la medida que nos resulta al final una función compuesta por un producto y las funciones que se encuentran dentro de las LIATES.
Ahora bien aplicando nuevamente la sustitución por partes tenemos:
Finalmente analizamos como en algunas ocasiones podemos llegar a aplicar las integrales por partes más de una vez, en ese caso es importante saber escoger tanto el dv y él u, en la medida que nos resulte una integral más sencilla que la anterior. Espero que este repaso de las integrales por partes les haya servido para aclarar las dudas que en pocos libros de cálculo se exponen para este método de integración.
