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Vectores: Operaciones , Propiedades y Componentes

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vector coordenadas rectangulares

Cuando se requiere estudiar la física, es necesario el estudio de cantidades físicas que poseen propiedades tanto de tipo dirección como numérica. Y estas cantidades de las que hablamos son los vectores, los cuales en este articulo se profundizaran en el sentido de sus operaciones, propiedades, componentes y el sistema de coordenadas que implementa.

Es importante definir lo que es un vector antes de entrar en detalle a nivel espacial y analítico, el vector es entonces un segmento de recta que tiene  un modulo o magnitud, sentido y dirección.  El cual no debemos confundirnos con un escalar el cual solo ha de tener un valor único junto a una unidad especifica, del cual no tiene dirección, por ejemplo la temperatura.

Representación grafica de Vectores

Los vectores pueden ser representados gráficamente en   el sistema de coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares. Cada uno de estos sistemas coordenados tienen su funcionalidad, por ejemplo en el caso que se quiera representar el desplazamiento de un objeto, el sistema de coordenadas cartesianas es el indicado, mientras que el sistema de coordenadas polares hace referencia más al plano de la navegación  y la ubicación.

Representación en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares

Cualquier vector sin importar sus características puede ser representado en el sistema de coordenadas rectangulares, para ello es importante precisar que los vectores poseen dos componentes, una componente en el eje x y otra en el eje y. Dicho esto tenemos que la representación grafica del vector en el plano de coordenadas rectangulares seria:

vector coordenadas rectangulares

A su vez podemos decir que el vector F equivale a la suma de Fx y Fy, que son las componentes rectangulares del vector.

Representación en el sistema de coordenadas polares

Para el caso de la representación de un vector en sus coordenadas polares solo necesitaremos su angulo que se toma en sentido antihorario  el cual puede estar en radianes o grados  y su módulo (longitud).  Su representación seria:

coordenadas polares vectores

¿ Como convertir coordenadas polares a cartesianas o viceversa en los vectores?

En algunos casos es necesario el trabajar con las coordenadas cartesianas a partir de las coordenadas polares, o también se puede dar el caso contrario.  Para ello te anexaremos  las formulas que se usan para realizar tal conversión:

vectores conversion coordenadas polares rectangulares

Lectura recomendada: 20 Ejercicios Resueltos de Cinemática :【MRU, MRUA, y Caída libre 】

Propiedades y Operaciones con Vectores

En esta sección abordaremos las propiedades fundamentales de los vectores,  que son  base fundamental para la física clásica.

Igualdad de Vectores

Decimos que dos vectores A y B son iguales si tienen la  misma dirección, magnitud sentido. Esto quiere decir que podemos tener varios vectores, con diferentes puntos de inicio y estos pueden ser iguales. Un ejemplo grafico de esta propiedad  es típico caso donde encontramos los diferentes vectores en el plano cartesianos, cumpliendo con la condición de igualdad:

igualdad de vectoresSuma de vectores

Antes de iniciar con las propiedades de la suma, es importante precisar que para la suma de vectores lo podemos hacer de manera gráfica y  de manera analítica, en este caso abordaremos  la manera analítica la cual es la más usada al momento de operar en ejercicios comunes de física.

suma de vectores

Pasemos ahora a las propiedades de la suma de vectores,  por un lado tenemos la ley conmutativa que expresa:

vectores propiedad conmutativa

Y por otra parte tenemos la propiedad asociativa en los vectores que se expresa como:

propiedad asociativa vectoresNegativo de un  Vector

El negativo de un vector establece que la suma de  todo negativo de un vector es igual a cero. Lo anterior se expresa como:

negativo de un vector

Resta de Vectores

La resta de vectores hace uso del negativo de un vector, si lo vemos como la suma del vector no negativo de b sumado al vector a. Para restar analíticamente los  vectores se debe operar de la siguiente manera:

resta vectores

Multiplicación de Vectores

En la multiplicación de vectores se puede dar entre vectores o por un escalar. Iniciaremos explicando como se opera la multiplicación de un vector por un escalar.

escalar por vector multiplicación

Por otra parte,  si queremos multiplicar vectores tenemos por un lado al producto escalar que se expresa como:

producto escalar vectoresAhora bien, es hora de abordar otro tipo de producto  entre vectores y es el  producto vectorial :

producto vectorial definicion

Ahora pasemos a un ejemplo de este tipo de producto:

multiplicación de vectores

Finalmente podemos expresar el producto  escalar y vectorial en función del angulo que forman  los dos vectores, para ello haremos uso también del  módulo de un vector:

producto vector con angulos


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