En esta ocasión haremos  referencia en  las medidas de tendencia central más usadas,  como  son la media, la mediana y  la moda. Para ello es importante precisar que estas medidas de centralización se calculan de manera diferente tanto para los datos agrupado y no agrupados.

¿ Qué son las medidas de tendencia central?

Una medida de tendencia central es un único valor con el que se pretende describir un conjunto de datos, a través de la identificación de la posición central del mismo. Como tal, las medidas de tendencia central a veces se denominan medidas de ubicación central, también se catalogan como un resumen estadístico.

La media (a menudo llamada promedio) es probablemente la medida de  tendencia central con la que estás familiarizado, pero existen otras, como la mediana y la moda.

La Media

La media,  también conocida como media aritmética y  frecuentemente llamada como promedio, es una medida de tendencia central  que se obtiene al sumar cada uno de los datos y dividirlos entre la cantidad de los mismos.  Por otra parte,  si la media es obtenida dentro de una población la media se ha de representar con la letra miu (µ) y si esta se calcula dentro de una muestra se representara con una x que llevara una raya en la parte superior.

Es importante mencionar que este tipo de medida, se puede calcular tanto en variables continuas y discretas.

Formula de la Media para Datos no Agrupados

La formula para el cálculo de la media en datos no  agrupados, difiere solo el símbolo en caso de que se aplique la media en una muestra o población:

En este caso N es la cantidad total de datos y por otra parte xi  es cada uno de los datos que tenemos a nuestra disposición, los cuales como lo indica la sumatoria deben ser sumados en su totalidad y luego divididos en el número total de datos.

Formula de la Media para Datos Agrupados

En el caso del cálculo de la media para datos agrupados,  la formula cambia en gran medida debido a que se tienen en cuenta una serie de factores nuevos. Ya que en esta tenemos en cuenta la marca de clase y la frecuencia absoluta.

Resumiendo la formula, debemos sumar cada frecuencia absoluta con la marca de clase en cada intervalo y luego dividirla en la cantidad total de datos.

Ejemplos resueltos sobre la Media

Calculo de la Media para datos no agrupados

a) En una evaluación de ingles las notas de 10 estudiantes fueron las siguientes:

90 , 70 , 60 , 20 , 40 , 50 , 70 , 50 , 40 , 75

Se nos solicita calcular la media para dichos datos.

Solución:

En este caso estamos manejando  una muestra de datos no agrupados, en donde N= 10. Por tanto, la media se expresaría como:

Calculo de la media para datos agrupados

b) La siguiente tabla de frecuencias expresa el peso para 40 trabajadores, por tanto nos piden calcular la media para dichos datos  agrupados.

Solución:

En este caso la media se aplica para datos agrupados, por tanto tenemos que tener en cuenta la marca de clase (xi) y la frecuencia absoluta acumulada (fi). Recuerda que la sumatoria indica que debemos sumar dentro de los cinco intervalos el producto de la frecuencia absoluta  junto a la marca de clase, en este caso en la tabla se expresa como la suma de todos estos productos es 2868.

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La Mediana

La mediana es el valor intermedio que se encuentra entre el conjunto de datos, una vez que estos están ordenados. Es importante precisar que un 50% de los datos esta por encima de la mediana y el otro 50% esta por debajo de la misma.

El símbolo de la mediana es Me, tanto para datos agrupados y no agrupados.

Formula de la Mediana para Datos no Agrupados

La formula que aplicaremos para el caso de la mediana en datos no agrupados,  se divide  tanto para una cantidad impar de datos como para una cantidad par.

Para el caso de una muestra con una cantidad impar de datos la formula de la Mediana es :

Para el caso de una muestra con una cantidad par de datos la formula de la Mediana es :

 Formula de la Mediana para Datos Agrupados

En el caso de que tengamos  nuestros datos agrupados,  la formula que debemos aplicar es la siguiente:

• En donde i seria el intervalo  con una frecuencia acumulada que supera el valor de n/2.
• Li es el limite inferior del intervalo en donde la frecuencia acumulada supero el valor de n/2.
• El valor de n es el total de datos de nuestra muestra.
• Fi-1 es la frecuencia acumulada que está en el intervalo anterior a  la mediana.
• fi es la frecuencia absoluta  en el intervalo de la mediana.
• Y finalmente a, es  la amplitud que tiene nuestro intervalo.

Ejemplos resueltos sobre la Mediana

Calculo de la Mediana para datos impares no agrupados

a)  Se tiene una muestra   de tamaño 7, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:

4, 7, 5, 6, 3, 2, 7

Solución:

Lo primero que debemos hacer es ordenar los datos de manera creciente o decreciente.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 7

Luego aplicamos la formula de la mediana para datos impares no agrupados. Sabiendo que n que es el número total de datos es 7.

Finalmente hemos encontrado la mediana, que es el dato X4 o mejor dicho el dato que ocupa la cuarta posición que seria 5:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 7

Calculo de la Mediana para datos pares no agrupados

b) Se tiene una muestra de tamaño 8,  en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:

12, 15, 14, 16, 11, 10, 10, 13

Solución:

Inicialmente ordenamos los datos de manera creciente o decreciente.

16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 10

Luego aplicamos la formula de la mediana para datos pares no agrupados, con n igual a 8 que es la cantidad total de datos.  Como vemos usaremos los datos de la cuarta y quinta posición, que son 12 y 13 respectivamente.

 

Calculo de la Mediana para datos agrupados

c) Tenemos la distribución de frecuencias   de la cantidad de hogares que no tienen servicio de luz, en 212  municipios. Para ello el investigador no solicita hallar la mediana de dichos datos.

Solución:

Iniciamos determinando en que intervalo se encuentra la mediana, para ello debe cumplir que el valor de n/2 sea menor igual que la frecuencia absoluta acumulada (Fi):

En nuestro caso el intervalo de la mediana se encuentra en el  primer intervalo en donde  la frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a  106,  por tanto el intervalo a usar es el que tiene la frecuencia absoluta acumulada como 150. El valor de 70 que es el anterior no nos sirve, ya que es menor que 106.

En este caso i=6, que es el número del intervalo a tener en cuenta. Por tanto,  cada una de las variables que necesitamos son:

Finalmente , calculamos la mediana reemplazando cada uno de los datos hallados:

La Moda

La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en  nuestro conjunto de datos.  Es importante aclarar que un conjunto de datos puede presentar desde una moda, varias modas o ninguna. En un histograma de frecuencias absolutas, la moda es la barra más alta de nuestro gráfico.

El símbolo de la moda es Mo, tanto para datos agrupados y no agrupados.

Formula de la Moda para Datos no Agrupados

Para calcular  la moda (Mo) en datos no agrupados  simplemente miramos el dato que se repite con mayor frecuencia y esta será la moda.

Puede darse el caso de que tengamos dos o más modas, esto sucedería si dos o más datos se repitieron con  mayor e igual  frecuencia  en nuestro muestra.

Formula de la Moda para Datos Agrupados

La formula que usaremos para el cálculo de la moda, en el caso de que tengamos datos agrupados será:

• Li es él limite inferior del intervalo con mayor frecuencia absoluta.
• fi-1 es la frecuencia absoluta anterior a la de mayor frecuencia.
• fi+1 es la frecuencia absoluta del siguiente intervalo al de mayor frecuencia absoluta.
• a es la amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.

Ejemplos resueltos sobre la Moda

Calculo de la moda para datos no agrupados

a) Dada la muestra con los siguientes valores  20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30 , calcular la moda.

Solución:

En este caso Mo = 25, ya que es el dato que más repite. Se dice que es un caso   unimodal.

b) Dada muestra  con los siguientes  valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda.

Solución:

En este caso Mo= 20 Mo= 25,  ya que estos dos valores son los que más se repiten, cada uno dos veces. Se dice entonces  que es un caso  bimodal.

c) Dada la  muestra con los siguientes  valores 20, 23, 20, 24, 25, 25, 26, 30 y 30, calcular la moda.

Solución:

En este caso Mo= 20  M0= 25 y Mo=30, estos son los datos que más se repiten y con una  frecuencia de dos veces cada uno. Se dice  entonces que es un caso  multimodal.

Calculo de la moda para datos agrupados

d) Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular lo moda para dicha muestra.

Solución:

En este caso estamos abordando un ejercicio con datos agrupados en intervalos, por ende debemos usar la formula para tal caso.

Por definición la moda para datos agrupados es:

Ahora  procedemos a hallar cada  valor independiente de nuestra formula y a calcular la Mo.

Relación entre Media, Mediana y Moda con la distribución de frecuencias

Dados los valores de la media, la mediana y la moda podemos deducir el tipo de distribución se establece en nuestra prueba.  Los casos que podemos tener con relación a estas tres medidas de tendencia central son :

• Si la media, la mediana y la moda son iguales,  contamos con una distribución simétrica.
• En el caso de que la media >  mediana, contamos con una distribución asimétrica sesgada a la derecha.
• En el caso de que la media < mediana, contamos con una distribución asimétrica  sesgada a la izquierda.
• Si la media es igual a la mediana  y existen dos modas, estamos hablando de una distribución bimodal, caso que es poco frecuente.